# Differenzialrechnung erklärt: Woher kommen eigentlich die Ableitungsregeln?

> Autor: Paul Krümmling
> Kategorie: Mathematik
> Veröffentlicht: 24. Juni 2026
> Aktualisiert: 29. Juni 2026
> Quelle: https://www.nexoraflow.de/blog/differenzialrechnung-erklaert-woher-kommen-eigentlich-die-ableitungsregeln
> Video: https://youtu.be/F9Z0kdm8i_U

Viele wissen: Die Ableitung einer Funktion gibt die Steigung der Tangente in einem bestimmten Punkt an. So ist zum Beispiel die Ableitung der Funktion $f(x) = x^2$ gleich $2x$. Aber woher kommt das eigentlich? Das hat sich nicht einfach irgendein Mathematiker vor hunderten von Jahren ausgedacht. Tatsächlich steckt dahinter, wie so oft in der Mathematik, ein logischer Grund.

## Erinnerung: Differenzenquotient vs. Differenzialquotient

Erinnern wir uns noch einmal an den Differenzenquotienten und den Differenzialquotienten zurück. Was war da noch einmal der Unterschied?

Der **Differenzenquotient**, oder auch die mittlere Änderungsrate, gibt die mittlere Steigung einer Funktion in einem Intervall von $a$ bis $b$ an. Bei der Funktion $f(x) = x^2$ könnte man zum Beispiel ein Steigungsdreieck anlegen, mit der Breite $b - a$ und der Höhe $f(b) - f(a)$. Die Steigung des Dreiecks wäre dann:

$$m = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$$

Was passiert nun, wenn wir den Abstand zwischen $a$ und $b$ immer kleiner machen? Dann gehen wir in den **Differenzialquotienten** über. Es handelt sich also um einen Grenzwert, wenn $h$ (der Abstand zwischen $a$ und $b$) gegen $0$ geht.

Die momentane Änderungsrate, also nicht die Steigung in einem Intervall, sondern an einem bestimmten Punkt $x_0$ – lautet damit:

$$\lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$$

## Ein konkretes Beispiel

Rechnen wir das einmal an einem konkreten Beispiel durch. Nehmen wir wieder die Funktion $f(x) = x^2$.

Der Differenzialquotient an einer Stelle $x$ lautet dann:

$$\lim_{h \to 0} \frac{(x + h)^2 - x^2}{h}$$

Lösen wir zuerst das Quadrat auf, dann haben wir:

$$\lim_{h \to 0} \frac{x^2 + 2xh + h^2 - x^2}{h}$$

Im Zähler fällt das $x^2$ weg, und $h^2$ wird $0$, wenn $h$ gegen $0$ geht. Also bleibt nur noch übrig:

$$\lim_{h \to 0} \frac{2xh}{h} = 2x$$

Und siehe da, das ist genau die Ableitungsfunktion zu $f(x) = x^2$.

## Fazit

Ich hoffe, dass bei dir jetzt die ganzen Fragezeichen verschwunden sind und klar geworden ist, warum die Ableitungsregeln wie

$$\left(x^a\right)' = a \cdot x^{a-1}$$

überhaupt existieren. Sie sind kein Zufall und keine reine Merkregel, sondern das logische Ergebnis des Grenzübergangs, den wir uns gerade angeschaut haben.