Differenzialrechnung erklärt: Woher kommen eigentlich die Ableitungsregeln?

Viele wissen: Die Ableitung einer Funktion gibt die Steigung der Tangente in einem bestimmten Punkt an. So ist zum Beispiel die Ableitung der Funktion $f(x) = x^2$ gleich $2x$. Aber woher kommt das eigentlich? Das hat sich nicht einfach irgendein Mathematiker vor hunderten von Jahren ausgedacht. Tatsächlich steckt dahinter, wie so oft in der Mathematik, ein logischer Grund.

Erinnerung: Differenzenquotient vs. Differenzialquotient

Erinnern wir uns noch einmal an den Differenzenquotienten und den Differenzialquotienten zurück. Was war da noch einmal der Unterschied?

Der Differenzenquotient, oder auch die mittlere Änderungsrate, gibt die mittlere Steigung einer Funktion in einem Intervall von $a$ bis $b$ an. Bei der Funktion $f(x) = x^2$ könnte man zum Beispiel ein Steigungsdreieck anlegen, mit der Breite $b - a$ und der Höhe $f(b) - f(a)$. Die Steigung des Dreiecks wäre dann:

$m = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$

Was passiert nun, wenn wir den Abstand zwischen $a$ und $b$ immer kleiner machen? Dann gehen wir in den Differenzialquotienten über. Es handelt sich also um einen Grenzwert, wenn $h$ (der Abstand zwischen $a$ und $b$) gegen $0$ geht.

Die momentane Änderungsrate, also nicht die Steigung in einem Intervall, sondern an einem bestimmten Punkt $x_0$ – lautet damit:

$\lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$

Ein konkretes Beispiel

Rechnen wir das einmal an einem konkreten Beispiel durch. Nehmen wir wieder die Funktion $f(x) = x^2$.

Der Differenzialquotient an einer Stelle $x$ lautet dann:

$\lim_{h \to 0} \frac{(x + h)^2 - x^2}{h}$

Lösen wir zuerst das Quadrat auf, dann haben wir:

$\lim_{h \to 0} \frac{x^2 + 2xh + h^2 - x^2}{h}$

Im Zähler fällt das $x^2$ weg, und $h^2$ wird $0$, wenn $h$ gegen $0$ geht. Also bleibt nur noch übrig:

$\lim_{h \to 0} \frac{2xh}{h} = 2x$

Und siehe da, das ist genau die Ableitungsfunktion zu $f(x) = x^2$.

Fazit

Ich hoffe, dass bei dir jetzt die ganzen Fragezeichen verschwunden sind und klar geworden ist, warum die Ableitungsregeln wie

$\left(x^a\right)' = a \cdot x^{a-1}$

überhaupt existieren. Sie sind kein Zufall und keine reine Merkregel, sondern das logische Ergebnis des Grenzübergangs, den wir uns gerade angeschaut haben.