Ladekurve eines Kondensators

Warum sieht die Ladekurve eines Kondensators so aus, wie sie eben aussieht? Woher kommt $U(t) = U_0 \cdot (1-e^{-\frac{t}{\tau}})$? Und warum ist dann $I(t) = I_0 \cdot e^{-\frac{t}{\tau}}$? Und was bedeutet dieses $\tau$?

Kondensatoren sind ein spannendes, aber zugleich komplexes Thema, bei dem viele Schüler in der Oberstufe aussteigen. Dieser Artikel soll Licht ins Dunkle bringen und dir endlich erklären, woher all diese Formeln kommen.

Der Anfangszustand

Für das Aufladen eines Kondensators brauchen wir drei Dinge in unserem Schaltkreis: eine Spannungsquelle (bzw. ein Gerät, das unsere Ladungen trennt), einen Widerstand, über den der Strom fließt und an dem wir unsere Stromstärke messen können, und natürlich einen Kondensator.

Anfangs ist der Kondensator komplett ungeladen. Die Spannung zwischen den zwei Platten beträgt 0 und somit auch die Gegenspannung zur Spannungsquelle. Die Spannungsquelle hat es nun sehr einfach, Ladungen auf die Platte „draufzuschieben“, da ja noch keine Ladungen darauf sind. Würden wir nun unsere Stromstärke am Widerstand mit der Formel

$I = \frac{U_{\text{res}}}{R} = \frac{U_0 - U_{\text{gegen}}}{R}$

messen, wäre diese maximal groß. Unsere $U(t)$-Funktion startet also bei 0 und die $I(t)$-Funktion bei der maximalen Stromstärke $I_0$.

Das Aufladen

Nun werden immer mehr Ladungen auf die eine Seite des Plattenkondensators gedrückt. Es baut sich also eine Gegenspannung $U$ am Kondensator auf, die der ursprünglichen Spannung der Spannungsquelle $U_0$ entgegenwirkt. Die resultierende Spannung am Widerstand wird somit kleiner und damit auch die Stromstärke. Die Stromstärke nimmt also ab und die Spannung am Kondensator nimmt immer weiter zu.

Je größer der Ladungsunterschied der beiden Platten ist, desto schwerer ist es, neue Ladungen auf die Platte „draufzudrücken“. Der jetzige Zustand hat also direkten Einfluss auf den zukünftigen Zustand. Deshalb verläuft die Kurve der $U(t)$- bzw. $I(t)$-Funktion nicht linear, sondern exponentiell.

Theoretisch kann der Kondensator auch nie zu 100 % aufgeladen werden. Anhand der Funktionsgleichung von $U$ sehen wir, dass, je größer $t$ wird, sich unsere Kondensatorspannung zwar immer mehr unserer Quellspannung $U_0$ annähert, sie diese aber nie ganz erreichen wird. Das Gleiche gilt auch für die Stromstärke: Sie wird immer kleiner, weil es zunehmend „schwerer“ wird, neue Elektronen auf den Kondensator zu schieben, aber sie wird nie 0.

Die Zeitkonstante

Wovon hängt jetzt aber die Geschwindigkeit des Aufladens ab? Nicht von unserer Spannung $U_0$, sondern von unserer Zeitkonstante:

$\tau = R \cdot C$

Also von der Beschaffenheit des Kondensators (Kapazität $C$) und von der Größe des Widerstands $R$. Je größer $C$ oder $R$ ist, desto größer ist unsere Zeitkonstante und desto länger braucht es, den Kondensator auf einen bestimmten Prozentsatz der Quellspannung $U_0$ aufzuladen.

Fun Fact: $\tau$ hat die Einheit s (Sekunden) und gibt an, wie lange es dauert, den Kondensator auf rund 63 % der Spannung der Quelle aufzuladen (Beweis durch einfaches Einsetzen von $t = \tau$ in die Funktionsgleichung $p \cdot U_0 = U_0 \cdot (1-e^{-\frac{\tau}{\tau}})$).