Schiefer Wurf eines Volleyballs

Aufgabenstellung

Ein Volleyballspieler schlägt einen Ball vom Rand des Spielfeldes aus ab. Der Ball verlässt seinen Schläger in einer Höhe von $h_0 = 1{,}80\ \text{m}$ über dem Boden mit einer Anfangsgeschwindigkeit von $v_0 = 18{,}0\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$ unter einem Abwurfwinkel von $\alpha = 25^\circ$ gegenüber der Horizontalen.

Das Netz befindet sich in einer horizontalen Entfernung von $d = 9{,}00\ \text{m}$ vom Abwurfpunkt und hat eine Höhe von $h_N = 2{,}43\ \text{m}$.

(Der Luftwiderstand wird vernachlässigt, $g = 9{,}81\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$.)

a) Stelle die Gleichungen für die horizontale und vertikale Bewegung des Balls allgemein auf und erkläre kurz, welche Art von Bewegung jeweils vorliegt.

b) Berechne, in welcher Höhe der Ball das Netz passiert, und beurteile, ob er regelkonform darüber fliegt.

c) Berechne die Weite $x_{\max}$, also die horizontale Entfernung, bei der der Ball auf dem Boden aufkommt.

---

Lösungsweg a)

Die Anfangsgeschwindigkeit $v_0 = 18{,}0\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$ können wir als einen Vektor darstellen, der sich aus der horizontalen und der vertikalen Anfangsgeschwindigkeit zusammensetzt. Die einzelnen Komponenten berechnen wir über den Sinus und den Kosinus:

$v_{0x} = v_0 \cdot \cos(\alpha) = 18{,}0\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}} \cdot \cos(25^\circ) \approx 16{,}31\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$

$v_{0y} = v_0 \cdot \sin(\alpha) = 18{,}0\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}} \cdot \sin(25^\circ) \approx 7{,}61\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$

In der Aufgabe ist aber die Gleichung für die zwei Bewegungen gefragt, nicht die der Geschwindigkeiten. Wir müssen also die Funktionen $x(t)$ und $y(t)$ aufstellen.

Die horizontale Bewegung ist eine gleichförmige Bewegung, da entlang der $x$-Richtung keine Kraft wirkt (in der Realität wäre das der Luftwiderstand, der hier aber vernachlässigt wird). Wir verwenden also die Formel $s(t) = v \cdot t$:

$x(t) = v_{0x} \cdot t = 16{,}31\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}} \cdot t$

Entlang der $y$-Richtung wirkt hingegen eine Kraft auf den Ball, nämlich die Schwerkraft. Deshalb handelt es sich um eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung, die wir mit folgender Formel bestimmen:

$y(t) = -\tfrac{1}{2}\,g\,t^2 + v_{0y}\,t + h_0 = -\tfrac{1}{2} \cdot 9{,}81\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot t^2 + 7{,}61\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}} \cdot t + 1{,}80\ \text{m}$

---

Lösungsweg b)

Wir müssen nun die Höhe an der Stelle $x = d = 9{,}00\ \text{m}$ berechnen. Dazu bestimmen wir zuerst mithilfe von $x(t)$, zu welchem Zeitpunkt der Ball das Netz erreicht, und setzen diesen Zeitpunkt dann in die Funktion $y(t)$ ein. So sehen wir, ob unser $y$-Wert größer oder kleiner als die Höhe des Netzes ist.

$9{,}00\ \text{m} = 16{,}31\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}} \cdot t_N \quad \Rightarrow \quad t_N = \frac{9{,}00\ \text{m}}{16{,}31\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}} \approx 0{,}552\ \text{s}$

$y(t_N) = -\tfrac{1}{2} \cdot 9{,}81\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot (0{,}552\ \text{s})^2 + 7{,}61\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}} \cdot 0{,}552\ \text{s} + 1{,}80\ \text{m} \approx 4{,}51\ \text{m}$

Mit $4{,}51\ \text{m} > h_N = 2{,}43\ \text{m}$ fliegt der Ball also regelkonform und deutlich über das Netz.

---

Lösungsweg c)

Hier müssen wir einfach die Nullstellen der Funktion $y(t)$ berechnen, da der Ball dort die Höhe $0$ hat (das funktioniert, weil wir den Boden als Nullniveau annehmen und nicht die Abwurfhöhe). Wir setzen also:

$0 = -\tfrac{1}{2} \cdot 9{,}81\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot t_{\max}^2 + 7{,}61\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}} \cdot t_{\max} + 1{,}80\ \text{m}$

und berechnen unsere beiden Lösungen für $t_{\max}$ (zwei Lösungen, weil es sich um eine nach unten geöffnete Parabel mit Scheitelpunkt über der $x$-Achse handelt). Mit der Lösungsformel erhalten wir:

$t_{1,2} = \frac{7{,}61 \pm \sqrt{93{,}23}}{9{,}81}\ \text{s}$

Nur der positive Wert ist physikalisch sinnvoll, also:

$t_{\max} = \frac{7{,}61 + \sqrt{93{,}23}}{9{,}81}\ \text{s} \approx 1{,}76\ \text{s}$

Dieses $t_{\max}$ setzen wir nun in unsere Funktion $x(t)$ ein und erhalten die finale Wurfweite:

$x(t_{\max}) = 16{,}31\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}} \cdot 1{,}76\ \text{s} \approx 28{,}71\ \text{m}$

---

Diese Physik-Abituraufgabe wurde mit dem KI-Tutor von NexoraFlow erstellt.