Tangente an einer Funktionenschar

Aufgabenstellung

Gegeben ist die Funktionenschar $f_k$ mit der Gleichung

$f_k(x) = e^{k \cdot x} \quad \text{für } k > 0.$

Vom Koordinatenursprung $O(0\,|\,0)$ wird eine Tangente an den Graphen von $f_k$ gelegt. Der Graph von $f_k$, diese Tangente und die $y$-Achse schließen eine Fläche vollständig ein.

Bestimmen Sie den exakten Wert für den Parameter $k$, sodass der Flächeninhalt dieser eingeschlossenen Fläche genau $1$ Flächeneinheit beträgt.

Formel aufstellen

Als Erstes hilft es immer, aus dem Text eine mathematische Formel zu entwerfen. Denn gerade so sieht die Aufgabe noch sehr verwirrend aus, und die meisten würden einfach raten, was sie als Nächstes machen müssen. Wir wollen aber nicht raten, wir wollen eine logische, strukturierte Rechnung aufstellen.

Wir bezeichnen die Tangente am Berührungspunkt $x = b_k$ als $t_k(x)$. Wenn wir den Text als eine einzige Gleichung schreiben würden, würde sie so aussehen:

$\int_0^{b_k} \big(f_k(x) - t_k(x)\big)\, dx = 1$

Denn wir wollen ja die Fläche zwischen dem Graphen und seiner Tangente haben, von $x = 0$ (der $y$-Achse) bis dorthin, wo sie sich berühren, also $x = b_k$.

Berührungspunkt finden

Wie finden wir den Berührungspunkt? Wir wissen zwei Dinge:

1. Die Tangente muss die Form $t_k(x) = m \cdot x$ haben, wobei $m = f_k'(b_k)$.
2. Die Funktion und die Tangente haben genau einen Berührungspunkt bei $B\,(b_k \mid f_k(b_k))$.

Wie finden wir das $x$, bei dem sich $f_k(x)$ und $t_k(x)$ berühren? Wir setzen die beiden Gleichungen gleich:

$f_k(b_k) = f_k'(b_k) \cdot b_k$

$e^{k b_k} = b_k \cdot k \cdot e^{k b_k}$

Umgestellt ergibt das:

$b_k = \frac{1}{k}$

Unser Berührungspunkt $B$ liegt also für jede Funktion unserer Funktionenschar bei $B\left(\dfrac{1}{k} \,\middle|\, f_k\!\left(\dfrac{1}{k}\right)\right)$.

Informationen zusammenführen

Wir wissen also:

$f_k(x) = e^{kx}$

$t_k(x) = f_k'\!\left(\frac{1}{k}\right) \cdot x = k \cdot e \cdot x$

$B\left(\frac{1}{k} \,\middle|\, f_k\!\left(\frac{1}{k}\right)\right)$

Fläche unter der Tangente (Dreiecksfläche): Diese können wir ganz einfach berechnen mit

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{k} \cdot f_k\!\left(\frac{1}{k}\right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{k} \cdot e = \frac{e}{2k}$

Fläche unter der Funktion $f_k(x)$: Diese können wir berechnen mit

$\int_0^{1/k} e^{kx}\, dx = \left[\frac{1}{k} e^{kx}\right]_0^{1/k} = \frac{e}{k} - \frac{1}{k}$

Damit lautet unsere finale Gleichung:

$\frac{e}{k} - \frac{1}{k} - \frac{e}{2k} = 1$

Wir erweitern den ersten und zweiten Bruch mit $2$:

$\frac{2e}{2k} - \frac{2}{2k} - \frac{e}{2k} = 1$

$\frac{e - 2}{2k} = 1$

$k = \frac{e-2}{2} = \frac{e}{2} - 1$

Und damit haben wir unsere Lösung.

Zusammenfassung

Lasst euch von scheinbar simplen und kurzen Aufgabenstellungen nicht täuschen. Sinnvoll ist es, vorher immer aus dem Text eine Formel herzuleiten, mit der man wirklich rechnen kann. Auch hier hilft nur üben, üben, üben. Irgendwann weiß euer Kopf schon intuitiv, was zu tun ist und worauf ihr beim Umstellen von Gleichungen achten müsst.

Diese Aufgabe wurde mit dem KI-Tutor von NexoraFlow erstellt