Warum Exponentialfunktionen schneller wachsen als Potenzfunktionen

Wenn wir uns die Graphen der beiden Funktionen $f(x) = x^{100}$ und $g(x) = 1{,}1^x$ anschauen, sehen wir: Der Graph von $f$ schneidet den Graphen von $g$ bei ungefähr $x = 1$ und schießt danach steil nach oben. Die Potenzfunktion scheint also ab da für immer größer zu sein als die Exponentialfunktion. Denn $x^{100}$ wächst ja so viel schneller als $1{,}1^x$, richtig?

Oder etwa doch nicht?

Der versteckte Schnittpunkt

Wenn wir ganz weit nach rechts scrollen, und dann noch viel weiter nach oben, sehen wir etwas Erstaunliches. Genauer gesagt bei $x \approx 9625$ und $y \approx 10^{398}$ (einer Zahl mit 399 Stellen) gibt es einen zweiten Schnittpunkt. Und ab dort liegt der Graph von $g$ über dem von $f$, und zwar für immer.

Langfristig wächst die Exponentialfunktion also doch schneller als unsere Potenzfunktion.

Das Wachstum von Funktionen

Und das gilt nicht nur für dieses eine Beispiel, sondern für alle Exponentialfunktionen und Potenzfunktionen:

Jede Exponentialfunktion $a^x$ (mit $a > 1$) wächst langfristig schneller als jede Potenzfunktion $x^n$.

Aber wie beweist man das? Wie kann man zeigen, dass es immer noch einen weiteren Schnittpunkt gibt, ab dem die Exponentialfunktion die Potenzfunktion überholt und sich die beiden Graphen danach immer weiter voneinander entfernen?

Der Grenzwert

Mathematisch heißt „die Exponentialfunktion wächst schneller als die Potenzfunktion“:

$\lim_{x \to \infty} \frac{x^n}{a^x} = 0$

Wenn wir jetzt aber unsere beiden Funktionsterme aus dem Beispiel einsetzen, stellen wir fest:

$\lim_{x \to \infty} \frac{x^{100}}{1{,}1^x} \longrightarrow \frac{\infty}{\infty}$

Das hilft uns erst mal nicht weiter, denn $\frac{\infty}{\infty}$ ist kein Ergebnis, sondern ein unbestimmter Ausdruck. Aber vielleicht kommt dir genau der bekannt vor: Um daraus etwas Sinnvolles zu machen, dürfen wir die Regel von L'Hospital anwenden.

Ableiten, ableiten, ableiten

Die Regel besagt: Wenn wir bei einem Grenzwert auf $\frac{\infty}{\infty}$ (oder $\frac{0}{0}$) stoßen, dürfen wir Zähler und Nenner einzeln ableiten. Der Grenzwert des neuen Bruchs ist dann derselbe wie der des alten. Also machen wir das mal:

$\lim_{x \to \infty} \frac{x^{100}}{1{,}1^x} = \lim_{x \to \infty} \frac{100 \cdot x^{99}}{\ln(1{,}1) \cdot 1{,}1^x} \longrightarrow \frac{\infty}{\infty}$

Immer noch $\frac{\infty}{\infty}$. Also wenden wir die Regel erneut an. Und nochmal. Und nochmal. Insgesamt 100-mal, bis im Zähler kein $x$ mehr steht:

$\lim_{x \to \infty} \frac{x^{100}}{1{,}1^x} = \dots = \lim_{x \to \infty} \frac{100 \cdot 99 \cdot 98 \cdot \ldots \cdot 2 \cdot 1}{\ln(1{,}1)^{100} \cdot 1{,}1^x} = \lim_{x \to \infty} \frac{100!}{\ln(1{,}1)^{100} \cdot 1{,}1^x} = 0$

Im Zähler steht jetzt die feste Zahl $100!$, im Nenner wächst $1{,}1^x$ weiter über alle Grenzen. Eine feste Zahl geteilt durch etwas, das gegen unendlich geht, ergibt $0$.

Damit haben wir gezeigt: In diesem Beispiel wächst die Exponentialfunktion letzten Endes tatsächlich schneller als die Potenzfunktion.

Verallgemeinern

Genau dasselbe Argument funktioniert für jedes $n$ und jede Basis $a > 1$:

Wir leiten die Potenzfunktion $x^n$ so oft ab, bis der Exponent $0$ ist. Dann steht im Zähler die feste Zahl $n!$. Im Nenner bleibt das $x$ dagegen immer im Exponenten stehen, egal wie oft wir ableiten, denn jede Ableitung liefert nur einen zusätzlichen Faktor $\ln(a)$:

$\lim_{x \to \infty} \frac{x^n}{a^x} = \lim_{x \to \infty} \frac{n!}{\ln(a)^n \cdot a^x}$

Und weil unsere Basis größer als $1$ ist, geht der Nenner gegen unendlich. Also gilt:

$\lim_{x \to \infty} \frac{x^n}{a^x} = 0$

Die Exponentialfunktion gewinnt, man muss ihr nur genug Zeit geben.