Zufallsgrößen: Das am meisten missverstandene Thema der Oberstufe

Zufallsgrößen sind wohl das am meisten missverstandene Thema in der Oberstufe. Kein einziger meiner Coaching-Schüler hat verstanden, was eine Zufallsgröße wirklich ist, und ich damals auch nicht. Vor allem die Bezeichnung kann sehr verwirrend sein, da eine Zufallsgröße gar nicht wirklich eine „Größe" ist. Was genau dahintersteckt, erkläre ich in diesem Beitrag, damit ihr in euren Klausuren nicht mehr lauter Fragezeichen im Kopf habt, wenn eine Aufgabe dazu drankommt.

Das Problem mit Zufallsexperimenten

Sagen wir, ihr werft dreimal hintereinander eine Münze. Eine Münze kann entweder auf „Kopf" oder „Zahl" landen, und ihr wollt zählen, wie oft bei den drei Würfen „Zahl" fällt.

Es gibt nun verschiedene Ausgänge bei diesem Experiment:

$\Omega = \{ZZZ,\ ZZK,\ ZKZ,\ KZZ,\ ZKK,\ KZK,\ KKZ,\ KKK\}$

Das Problem: Mit diesen Buchstaben kann man nicht rechnen. Wenn man zum Beispiel den Erwartungswert ausrechnen will, also wie häufig ich in drei Würfen im Schnitt „Zahl" bekomme, können wir das so nicht tun. Einen Ausdruck wie „ZZZ" können wir nicht einfach in eine Formel einsetzen. Wir brauchen also einen „Umwandler" und den benutzen wir meist schon ganz intuitiv.

Zuordnungen

Wir wollen bei unserem Experiment die Anzahl an „Zahl" zählen, die wir bei den drei Würfen bekommen. Was machen wir also? Wir ordnen jedem Ergebnis aus der Ergebnismenge eine Zahl zu:

$ZZZ \to 3,\quad ZZK \to 2,\quad ZKZ \to 2,\quad KZZ \to 2,\quad ZKK \to 1,\quad KZK \to 1,\quad KKZ \to 1,\quad KKK \to 0$

Und mit diesen Zahlen können wir dann zum Beispiel wunderbar den Erwartungswert ausrechnen:

$\mu = 3 \cdot \frac{1}{8} + 2 \cdot \frac{3}{8} + 1 \cdot \frac{3}{8} + 0 \cdot \frac{1}{8} = 1{,}5$

Diese Zuordnung kommt uns doch bekannt vor: nämlich vom Konzept der Funktionen. Auch Funktionen ordnen Argumenten einen Funktionswert zu. Und genau das ist eine Zufallsgröße auch: eine Funktion.

Die Zufallsgröße ist eine Funktion, die jedem Ergebnis eines Zufallsexperiments eindeutig eine reelle Zahl zuordnet.

In unserem Beispiel wurde jedem der Buchstabentupel (unseren Ergebnissen) eine eindeutige Zahl (0 bis 3) zugeordnet. Unsere Zufallsgröße zählt also die Anzahl an „Zahl".

Die Notation

In Klausuren begegnet euch die Zufallsgröße fast nie ausgeschrieben, sondern als den Großbuchstabe $X$ (manchmal auch $Y$ oder $Z$). Das ist einfach der Name unserer Funktion. Statt jedes Mal „die Zufallsgröße, die die Anzahl an ‚Zahl' zählt" zu schreiben, sagen wir einfach: $X$ zählt die Anzahl an „Zahl".

Und dann wird es praktisch. Wenn wir wissen wollen, wie wahrscheinlich es ist, dass wir genau zweimal „Zahl" bekommen, schreiben wir:

$P(X = 2) = \frac{3}{8}$

Lest das ruhig wörtlich: „Die Wahrscheinlichkeit, dass unsere Zufallsgröße $X$ den Wert 2 annimmt." Also die Wahrscheinlichkeit, bei drei Würfen genau zweimal „Zahl" zu bekommen und das sind ja unsere drei Ergebnisse $ZZK$, $ZKZ$ und $KZZ$, jedes mit $\frac{1}{8}$.

Kleiner Merksatz, der euch viel Verwirrung erspart: Das große $X$ ist die Funktion (die Zufallsgröße), das kleine $x$ ist ein konkreter Wert, den sie annehmen kann. Wenn ihr das einmal verinnerlicht habt, lesen sich Ausdrücke wie $P(X = x)$ oder $P(X \leq 2)$ plötzlich fast von allein.

Keine Größe, sondern eine Funktion

Die Zufallsgröße ist also keine feste Größe in dem Sinne. Sie ist eine Funktion, eine Zuordnung, die es uns überhaupt erst ermöglicht, mit Zufallsexperimenten zu rechnen.

Ich hoffe, die ganzen Fragezeichen sind jetzt verschwunden und ihr wisst nun, was zu tun ist, wenn in der nächsten Klausur eine Aufgabe zur Zufallsgröße drankommt.