Der Zusammenhang zwischen Strecke, Geschwindigkeit und Beschleunigung

Jahrelang war mir unklar, was eigentlich der Zusammenhang zwischen der Strecke, der Geschwindigkeit und der Beschleunigung ist. Klar, ich wusste, dass sie irgendwie zusammenhängen und dass das eine aus dem anderen hervorgeht. Aber was genau dahintersteckt, habe ich bis zur 11. Klasse nie wirklich verstanden. Genau dafür schreibe ich diesen Artikel: damit auch dir einleuchtet, wie diese drei Größen auf elegante Weise zusammenhängen.

Was ist Geschwindigkeit?

Wir kennen alle die Formel $v = \frac{\Delta s}{\Delta t}$. Die Geschwindigkeit gibt an, welche Strecke in einer bestimmten Zeit zurückgelegt wird. Damit gibt es aber ein Problem: Wir betrachten hierbei nur die Durchschnittsgeschwindigkeit über ein bestimmtes Intervall. Wenn wir für $300\,\text{m}$ eine Zeit von $5\,\text{s}$ gebraucht haben, hatten wir eine Durchschnittsgeschwindigkeit von $60\,\text{m/s}$.

Dabei spielt es aber keine Rolle, ob das Auto zwischendurch einmal $100\,\text{m/s}$ und einmal nur $20\,\text{m/s}$ gefahren ist. Es hatte über diese $300\,\text{m}$ eben nur eine Durchschnittsgeschwindigkeit von $60\,\text{m/s}$.

Der Grenzfall

Was ist aber, wenn wir die Geschwindigkeit zu einem ganz bestimmten Zeitpunkt wissen wollen. In einem einzigen Moment? Dann können wir die Formel so, wie sie oben steht, nicht mehr einfach anwenden. Stattdessen machen wir die Intervalle für $\Delta t$ immer kleiner: Sie gehen gegen null, bis wir irgendwann nur noch einen winzig kleinen Moment betrachten.

Es wird also zu einem Grenzübergang:

$\lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{ds}{dt}$

Wir landen also bei einem Differenzialquotienten, der Ableitung der Funktion $s(t)$. Die Geschwindigkeit ist somit die erste Ableitung des Weges nach der Zeit.

Die Beschleunigung

Und das Gleiche gilt auch für die Beschleunigung: Die Beschleunigung ist die Änderung der Geschwindigkeit, also die erste Ableitung der Geschwindigkeit nach der Zeit, oder $a = \frac{dv}{dt}$.

Wenn dir also eine Funktion gegeben ist, die dir zu jedem Zeitpunkt die zurückgelegte Strecke liefert, kannst du durch Ableiten ganz einfach die Geschwindigkeit (die Steigung des Graphen) und die Beschleunigung bestimmen.