Ladung eines Kondensators mit Hilfe der Entladekurve bestimmen

Wir alle wissen, dass Kondensatoren Ladungen speichern. Genauer gesagt kennen wir das durch die Formel $Q = C \cdot U$. Doch was ist, wenn wir nur die Entladekurve eines Kondensators gegeben haben? Wie kann man dort die Ladung berechnen, die auf den Kondensatorplatten gespeichert war? Genau das kläre ich in diesem Beitrag und das Lesen lohnt sich, da dies eine Aufgabe in deiner Physik-Abiturprüfung sein könnte…

Entladekurve

Die Funktion der Stromstärke in Abhängigkeit von der Zeit lautet beim Entladen

$I(t) = I_0 \cdot e^{-\frac{t}{\tau}}$

Dabei ist $I_0$ die ursprüngliche Stromstärke zum Zeitpunkt $t = 0$ und $\tau$ die Zeitkonstante. Nach der Zeit $\tau$ ist die Stromstärke auf etwa $37\,\%$ ($= \frac{1}{e}$) des Anfangswerts gesunken, der Kondensator hat sich also zu etwa $63\,\%$ entladen. Diese Zeitkonstante kann man mit

$\tau = R \cdot C$

berechnen.

Zusammenhang von Stromstärke und Ladung

Schauen wir uns nochmal genauer die Definition der Stromstärke an. Diese gibt an, wie viel Ladung pro Zeiteinheit durch den Leiterquerschnitt fließt, also

$I = \frac{Q}{t}$ (bei konstanter Stromstärke)

Wenn wir die momentane Stromstärke haben wollen, brauchen wir

$I = \frac{dQ}{dt}$

Die Stromstärke ist also die Ableitung der $Q(t)$-Funktion. Dies bedeutet aber auch, dass man die Ladung durch Integrieren der $I(t)$-Funktion bestimmen kann. Wenn in einer Sekunde $1\,\text{C}$ Ladung fließt, hat man also eine Stromstärke von $1\,\text{A}$ anliegen. Analog fließt $1\,\text{C}$ Ladung, wenn man für eine Sekunde $1\,\text{A}$ anliegen hat. Die Ladung ist also die Fläche unter der $I(t)$-Funktion:

$Q = \int I(t)\,dt$

Integrieren der I(t)-Funktion

Die Entladekurve erreicht theoretisch nie $I = 0$, sondern nähert sich der $t$-Achse immer weiter an. Die Zeitspanne, über der sich ein Kondensator entlädt, ist also theoretisch unendlich groß. Das Intervall für das Integral geht also von $0$ bis $\infty$.

Was ist also nun

$Q = \int_0^{\infty} I_0 \cdot e^{-\frac{t}{\tau}}\,dt \;?$

Als Erstes können wir $I_0$ aus dem Integral herausziehen:

$Q = I_0 \cdot \int_0^{\infty} e^{-\frac{t}{\tau}}\,dt$

Dazu müssen wir die Stammfunktion zu $e^{-\frac{t}{\tau}}$ bilden. Mit ein bisschen Überlegung (oder Probieren) erhalten wir $-\tau \cdot e^{-\frac{t}{\tau}}$. (Zur Probe: Ableiten nach $t$ ergibt wieder $e^{-\frac{t}{\tau}}$, denn die innere Ableitung $-\frac{1}{\tau}$ kürzt sich mit dem Faktor $-\tau$.) Nun setzen wir die Grenzen für diese Stammfunktion ein:

$Q = I_0 \cdot \left[-\tau \cdot e^{-\frac{t}{\tau}}\right]_0^{\infty}$

Hier können wir auch gleich wieder das $-\tau$ aus der Klammer herausziehen:

$Q = -I_0 \cdot \tau \cdot \left[e^{-\frac{t}{\tau}}\right]_0^{\infty}$

Was kommt raus, wenn wir die obere Grenze, also unendlich, in unsere Stammfunktion einsetzen? Dann wird der Exponent unendlich negativ und damit geht die gesamte Potenz gegen $0$ (streng genommen bilden wir hier den Grenzwert $t \to \infty$).

$\lim_{t \to \infty} e^{-\frac{t}{\tau}} = 0$

Wenn wir nun $0$ einsetzen, wird der gesamte Exponent auch $0$ und irgendwas hoch $0$ ergibt immer $1$. Wir haben also, wenn wir die Grenzen einsetzen:

$Q = -I_0 \cdot \tau \cdot (0 - 1)$

$\boxed{Q = I_0 \cdot \tau}$

Einfachheit in der Physik

Durch diese einfache Formel $Q = I_0 \cdot \tau$ können wir also die Ladung ausrechnen, die während des gesamten (theoretisch unendlich langen) Vorgangs vom Kondensator abfließt. Das ist genau die Ladung, die vorher auf den Platten gespeichert war.

Zur Kontrolle: Mit $I_0 = \frac{U_0}{R}$ und $\tau = R \cdot C$ erhalten wir

$Q = \frac{U_0}{R} \cdot R \cdot C = C \cdot U_0$

und das ist wieder unsere altbekannte Formel vom Anfang.

Oft ist es so, dass in der Physik sich Dinge durch ziemlich simple Formeln ausrechnen lassen. Die Herleitung benötigt zwar etwas Überlegung, aber wenn man sie einmal verstanden hat, wird die nächste Prüfung ein Kinderspiel.