Was macht eine harmonische Schwingung harmonisch?

Ich habe letztens mit einer Schülerin das Thema „Harmonische Schwingungen" behandelt. Irgendwann habe ich sie gefragt: Weißt du eigentlich, was eine Schwingung harmonisch macht? Sie hat mich nur ratlos angeschaut. Genau deshalb schreibe ich jetzt diesen Artikel.

Kräfte

Fangen wir bei den Grundlagen an: den Kräften. Welche Kräfte wirken bei einer Schwingung, sagen wir bei einem Federpendel?

Wenn der Körper aus der Ruhelage in die positive Richtung schwingt, wird er immer langsamer, kehrt schließlich seine Richtung um und kommt wieder zurück. Es muss also eine Kraft geben, die den Körper abbremst und zurücktreibt. Gäbe es sie nicht, würde der Körper unendlich weiter in eine Richtung wandern und die Feder unendlich lang strecken.

Und jetzt kommt der entscheidende Punkt: Je stärker die Feder bereits gedehnt ist, umso stärker ist auch diese Kraft. Das macht auch Sinn: je weiter ich eine Feder mit meiner Hand auseinanderziehe, umso stärker zieht sie umgekehrt an meiner Hand zurück. Die Kraft $F$ hängt also von der Auslenkung $s$ ab und zeigt immer entgegengesetzt zur Auslenkungsrichtung.

Proportionalität

Und jetzt kommt der entscheidende Faktor, im wahrsten Sinne des Wortes: Wenn diese Abhängigkeit zwischen der Kraft $F$ und der Auslenkung $s$ ist, dann ist die Schwingung harmonisch.

Es muss also einen Proportionalitätsfaktor geben, der die Kraft mit der Auslenkung verknüpft. Dieser Faktor ist $D$, die Federkonstante. Und so landen wir beim Hookeschen Gesetz:

$F = - D \cdot s$

Das Minuszeichen steht da, weil die Kraft immer genau entgegen der Auslenkungsrichtung zeigt, also stets zurück zur Ruhelage. Und nur wenn dieser Zusammenhang besteht, dann können wir all die Formeln und Regeln anwenden, die wir im Physikunterricht beigebracht bekommen: zum Beispiel, dass die Schwingung periodisch verläuft und sich als schöne Sinusfunktion beschreiben lässt. Würde das Hookesche Gesetz nicht gelten, könnten wir diese Formeln gar nicht erst aufstellen.

Zusammenfassung

Wenn du also das nächste Mal in der Klausur oder im Unterricht gefragt wirst: "Wann ist eine Schwingung harmonisch?" dann antworte ganz einfach: wenn das Hookesche Gesetz gilt.