Ebenengleichungen verstehen: Parameterform, Normalform und Koordinatenform

Ein zentrales Thema der analytischen Geometrie in der Oberstufe in allen Bundesländern sind Ebenen. Dazu wird auch im Abitur mit 90%iger Wahrscheinlichkeit eine Aufgabe drankommen, und doch verstehen viele meiner Schüler den Hintergrund hinter den 3 verschiedenen Arten der Ebenengleichung nicht. Dieser Blogartikel soll Licht ins Dunkle (oder eher Licht auf die Ebene) scheinen.

Parameterform

Die Ebenengleichung, die wir zuerst im Zusammenhang mit Ebenen kennenlernen werden in der Schule, ist die Parameterform. Um diese aufzustellen, müssen wir uns erst fragen: Wie viele mathematische Objekte brauchen wir, um eine Ebene eindeutig bestimmen zu können? Bei der Gerade brauchen wir zwei voneinander verschiedene Punkte. Bei der Ebene brauchen wir 3 davon, genauer gesagt 3 Punkte, die nicht auf einer Geraden liegen. Und genau diese 3 Punkte stecken in unserer Gleichung drin:

$E:\ \vec{x} = \overrightarrow{OA} + r \cdot \overrightarrow{AB} + t \cdot \overrightarrow{AC}, \quad r, t \in \mathbb{R}$

wobei $A$, $B$ und $C$ unsere 3 nicht-kollinearen Punkte sind. Hätten wir nur einen Punkt $A$ gegeben, könnten wir durch dessen Ortsvektor zwar bestimmen, durch welchen Punkt die Ebene geht (nämlich eben $A$), aber wir wüssten nicht die Ausrichtung im Raum. Die bekommen wir erst durch die zwei Spannvektoren, die $A$ mit $B$ und $A$ mit $C$ verbinden. Wir können also jeden Punkt $X$ auf der Ebene $E$ darstellen, indem wir den Ortsvektor (oder auch Stützvektor genannt) $\overrightarrow{OA}$ nehmen und dann jeweils ein Vielfaches von $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{AC}$ daranhängen.

Normalform

Oft ist es aber so, dass wir nur den Normalvektor (Vektorprodukt aus den beiden Spannvektoren) und einen Punkt auf der Ebene gegeben haben. Jetzt interessiert uns die Frage:

„Wie steht jeder Punkt auf unserer Ebene im Verhältnis zum Stützpunkt und dem Normalvektor?"

Der Normalvektor hat die Eigenschaft, dass er senkrecht auf der Ebene steht. Das heißt also, dass, wenn wir einen beliebigen Punkt $X$ mit dem Stützpunkt $P$ verbinden, dieser Verbindungsvektor senkrecht zu unserem Normalvektor $\vec{n}$ steht. Den Verbindungsvektor aus $X$ und $P$ können wir einfach mit $\overrightarrow{OX} - \overrightarrow{OP}$ berechnen (oder einfach $\vec{x} - \vec{p}$). Und was muss gelten, wenn zwei Vektoren senkrecht zueinander stehen? Richtig, das Skalarprodukt muss $0$ sein. Wir können dann also schreiben:

$E:\ (\vec{x} - \vec{p}) \circ \vec{n} = 0$

Alle Ortsvektoren, die diese Gleichung erfüllen, deren Punkte liegen auf der Ebene.

Koordinatenform

Die Koordinatenform geht aus der Normalform hervor. Sie hat die Form

$E:\ a x_1 + b x_2 + c x_3 - d = 0$

wobei $a$, $b$, $c$ einfach die Koordinaten des Normalvektors $\vec{n} = \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}$ sind und $d$ das Skalarprodukt aus Normalvektor und Stützvektor ($\vec{n} \circ \vec{p}$). Diese Koordinatenform benutzen wir dann, wenn wir zum Beispiel einfach überprüfen wollen, ob ein Punkt $P(x\,|\,y\,|\,z)$ in unserer Ebene liegt oder nicht.

Verstehen statt abschreiben

Leider ist es so, dass viele meiner Schüler die Gleichungen einfach nur abschreiben, aber nicht wirklich verstehen. Damit kommt man dann vielleicht noch in den Tests und Klausuren durch, aber in der Abiturprüfung wird es dann schwierig, wenn komplexe Anforderungsbereich-3-Aufgaben zu diesem Thema drankommen, wo man zum Beispiel erkennen muss, dass die Mittelachse einer Pyramide dem Normalvektor der Grundfläche entspricht und die Punkte der Grundfläche nur einen bestimmten Abstand zum Mittelpunkt haben dürfen. Deshalb versuche ich meinen Schülern immer von Anfang an beizubringen, was hinter den ganzen Formeln und Gleichungen steckt, damit sie dann in der Prüfung nicht ratlos dasitzen.