Lotfußpunkt auf Ebene bestimmen

In dem letzten Blogbeitrag haben wir uns damit beschäftigt, wie man den Lotfußpunkt auf einer Geraden im dreidimensionalen Raum bestimmt. Heute schauen wir uns an, wie wir das mit Ebenen machen. Lotfußpunkte sind nützlich, um zum Beispiel die kürzeste Strecke zwischen einem Punkt $P$ und einer Ebene $E$ zu bestimmen. Wir fragen uns also: Welcher Punkt $F$ auf der Ebene $E$ hat den kürzesten Abstand zu unserem Punkt $P$?

Beispiel

Nehmen wir an, wir haben folgendes gegeben:

$E: 2x + 3y + 4z - 5 = 0$

$P(-2 \mid 5 \mid 1)$

Jetzt fragen wir uns: Was kennen wir alles über den Punkt $P$, den Punkt $F$ und die Ebene $E$? Zum einen wissen wir, dass der Vektor $\overrightarrow{PF}$ senkrecht auf der Ebene $E$ steht (das ist die kürzeste Strecke und somit die Definition eines Lots). Viel mehr brauchen wir auch eigentlich nicht zu wissen.

Hilfsgerade aufstellen

Der Vektor $\overrightarrow{PF}$ steht also senkrecht auf der Ebene $E$. Ein Vektor, der ebenfalls senkrecht auf dieser steht, ist unser Normalenvektor. Den können wir ganz einfach aus der Koordinatenform ablesen:

$\vec{n} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}$

Was wir jetzt machen können, ist, eine Hilfsgerade aufzustellen. Diese geht durch unseren Punkt $P$ (unser Stützvektor) und hat die Richtung von $\vec{n}$ (unser Richtungsvektor). Was bringt uns diese Gerade? Wenn wir den Schnittpunkt von dieser Geraden und der Ebene bestimmen können, haben wir automatisch den Punkt $F$.

Die Gleichung unserer Geraden lautet also:

$g: \vec{x} = \begin{pmatrix} -2 \\ 5 \\ 1 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}, \quad \mu \in \mathbb{R}$

Schnittpunkt berechnen

Den Schnittpunkt von einer Ebene und einer Geraden bestimmen wir, indem wir die Geradengleichung in die $x$-, $y$- und $z$-Koordinate aufschlüsseln:

$\overrightarrow{OF} = \begin{pmatrix} f_x \\ f_y \\ f_z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 5 \\ 1 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}$

$$\begin{aligned} f_x &= -2 + \mu \cdot 2 \\ f_y &= 5 + \mu \cdot 3 \\ f_z &= 1 + \mu \cdot 4 \end{aligned}$$

Unser Ziel ist nun, das $\mu$ zu bestimmen, damit wir unsere drei Koordinaten für unseren Lotfußpunkt $F$ haben. Diese drei Koordinaten setzen wir nun in unsere Ebenengleichung ein und stellen dann nach $\mu$ um:

$E: 2(-2 + \mu \cdot 2) + 3(5 + \mu \cdot 3) + 4(1 + \mu \cdot 4) - 5 = 0$

Somit ist

$\mu = -\frac{10}{29}$

Dieses $\mu$ setzen wir wieder in unsere Geradengleichung ein und dann haben wir den Ortsvektor $\overrightarrow{OF}$:

$\overrightarrow{OF} = \begin{pmatrix} -2 \\ 5 \\ 1 \end{pmatrix} - \frac{10}{29} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}$

$\overrightarrow{OF} \approx \begin{pmatrix} -2{,}69 \\ 3{,}97 \\ -0{,}38 \end{pmatrix}$

Also ist unser Lotfußpunkt $F(-2{,}69 \mid 3{,}97 \mid -0{,}38)$.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Obwohl das relativ kompliziert aussah, müssen wir eigentlich nur zwei Dinge machen:

1. Hilfsgerade aufstellen mit Stützvektor $\overrightarrow{OP}$ und Richtungsvektor $\vec{n}$
2. Schnittpunkt von dieser Geraden und der Ebene bestimmen

Wichtiger ist eher zu verstehen, warum wir das Ganze machen. Diese Gerade steht senkrecht zu unserer Ebene $E$ (da $\vec{n}$ als Richtungsvektor) und geht durch den Punkt $P$. Somit stellt die Strecke zwischen dem Schnittpunkt der Geraden und der Ebene und dem Punkt $P$ die kürzeste Strecke beziehungsweise das Lot auf $E$ durch $P$ dar.