Lotfußpunkte auf Geraden bestimmen

Was ich in meinem Coaching die letzten Wochen festgestellt habe, ist, dass sich viele meiner Schüler damit schwertun, Lotfußpunkte zu bestimmen, insbesondere auf Geraden im dreidimensionalen Raum. Dieser Blogbeitrag soll dabei helfen, die Vorgehensweise dahinter auch wirklich zu verstehen, statt einfach nur die Formeln dafür auswendig zu lernen.

Das Setup

Wir haben eine Gerade $g$ gegeben mit

$g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix}, \quad \mu \in \mathbb{R}$

Außerdem haben wir einen Punkt $P$ gegeben mit dem Ortsvektor

$\overrightarrow{OP} = \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix}$

Die Frage ist nun, welcher Punkt auf der Geraden $g$ dem Punkt $P$ am nächsten ist. Genau das stellt der Lotfußpunkt dar. Denn wenn wir eine zur Geraden senkrechte Strecke zum Punkt $P$ ziehen, haben wir genau den geringsten Abstand von Punkt $P$ zur Geraden $g$. Diese Strecke nennt man das Lot.

Was wissen wir alles?

Was wissen wir schon über unseren Lotfußpunkt? Zum einen wissen wir, dass dieser Punkt $F$ auf unserer Geraden $g$ liegen muss. Also gilt

$\overrightarrow{OF} = \begin{pmatrix} f_1 \\ f_2 \\ f_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix}$

Das genaue $\mu$ kennen wir nicht, dies müssen wir herausfinden.

Weiterhin wissen wir, dass der Vektor $\overrightarrow{PF}$ senkrecht zum Richtungsvektor der Geraden steht, also zu $\begin{pmatrix} -2 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix}$. Damit wissen wir auch, dass

$\overrightarrow{PF} \circ \begin{pmatrix} -2 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix} = 0$

Die Koordinaten des Punktes $F$ aufstellen

Aus der ersten Gleichung können wir unsere drei Koordinaten von $F$ als drei Gleichungen aufschreiben:

$f_1 = 1 + \mu \cdot (-2)$

$f_2 = 2 + \mu \cdot 4$

$f_3 = 3 + \mu \cdot 5$

Das Ziel ist nun, genau dieses $\mu$ herauszufinden, damit wir damit die genauen Koordinaten von $F$ bestimmen können.

Das Skalarprodukt bilden

Den Vektor $\overrightarrow{PF}$ können wir ausrechnen, indem wir $\overrightarrow{OF} - \overrightarrow{OP}$ rechnen:

$\overrightarrow{PF} = \begin{pmatrix} f_1 - 4 \\ f_2 - 4 \\ f_3 - 4 \end{pmatrix}$

Und das Skalarprodukt aus $\overrightarrow{PF}$ und $\begin{pmatrix} -2 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix}$, die senkrecht aufeinander stehen, ist dann also:

$\overrightarrow{PF} \circ \begin{pmatrix} -2 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix} = (f_1 - 4) \cdot (-2) + (f_2 - 4) \cdot 4 + (f_3 - 4) \cdot 5 = 0$

Wir haben nun drei Unbekannte, aber nur eine Gleichung. Aber für die drei Koordinaten $f_1$, $f_2$ und $f_3$ können wir jeweils die rechte Seite der drei Gleichungen oben einsetzen, die jeweils nur $\mu$ beinhalten:

$0 = \big((1 + \mu \cdot (-2)) - 4\big) \cdot (-2) + \big((2 + \mu \cdot 4) - 4\big) \cdot 4 + \big((3 + \mu \cdot 5) - 4\big) \cdot 5$

Nun haben wir eine große Gleichung, die wir nach $\mu$ umstellen können. Hier müssen wir wegen der Klammern und Vorzeichen aufpassen. Wenn wir den Term vereinfachen, kommen wir schließlich auf das Ergebnis

$\mu = \frac{7}{45} \approx 0{,}156$

Einsetzen

Wir haben jetzt $\mu$ ausgerechnet, aber wir sind noch nicht fertig. Dieses $\mu$ müssen wir jetzt in unsere Geradengleichung wieder einsetzen, um den Ortsvektor von $F$ zu bekommen:

$\overrightarrow{OF} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + 0{,}156 \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix}$

$F = (0{,}69 \mid 2{,}62 \mid 3{,}78)$

Und damit haben wir unser finales Ergebnis. Wollten wir jetzt noch den Abstand von dem Punkt zu der Geraden ausrechnen, müssten wir dazu einfach den Betrag von $\overrightarrow{PF}$ nehmen.

Schritt-für-Schritt-Vorgehen

1. Geradengleichung und Skalarprodukt aufstellen
2. Die drei Koordinaten von $F$ jeweils als eine Gleichung in Abhängigkeit von $\mu$ darstellen
3. Vektor $\overrightarrow{PF}$ aufstellen
4. Skalarprodukt von $\overrightarrow{PF}$ und dem Richtungsvektor der Geraden nehmen und dann die drei Koordinaten von $F$ durch die Gleichungen aus (2) ersetzen
5. Nach $\mu$ umstellen und wieder in die Geradengleichung einsetzen